Question

已知函数f(x)=

ax

x-1

(a≠0)．
（1）判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（2）若a=1，求函数f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）根据单调性的定义，进行作差变形整理，可得当a＞0时，函数f（x）在（-1，1）上是减函数，当a＜0时，函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（2）根据（1）的单调性，算出函数在在[-

1

2

，

1

2

]上的最大值和最小值，由此即可得到f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上的值域．

解答：解：（1）当a＞0时，设-1＜x₁＜x₂＜1
f(x1)-f(x2)=

ax1

x1-1

-

ax2

x2-1

=

ax1(x2-1)-ax2(x1-1)

(x1-1)(x2-1)

=

a(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

∵x₁-1＜0，x₂-1＜0，a（x₂-x₁）＞0
∴

a(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，得f（x₁）＞f（x₂），函数f（x）在（-1，1）上是减函数；
同理可得，当a＜0时，函数f（x）在（-1，1）上是增函数．
（2）当a=1时，由（1）得f（x）=

x

x-1

在（-1，1）上是减函数
∴函数f（x在[-

1

2

，

1

2

]上也是减函数，其最小值为f（

1

2

）=-1，最大值为f（-

1

2

）=

1

3

由此可得，函数f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上的值域为[-1，

1

3

]．

点评：本题给出分式函数，讨论了函数的单调性并求函数在闭区间上的值域，着重考查了函数单调性的判断与证明和函数的值域等知识，属于基础题．