Question

18．抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上的一点，已知|AF|=3，直线OA的斜率为$\sqrt{2}$（O为坐标原点）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F作两条互相垂直的直线l₁、l₂，设l₁与C交于B、D两点，l₂与C交于C、E两点，求四边形BCDE面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）设A（x₀，y₀），由已知得：$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}_{\;}+\frac{p}{2}=3}\\{\frac{y_0}{x_0}=\sqrt{2}}\\{y_0^2=2p{x_0}}\end{array}}\right.$，即可求抛物线C的方程；
（2）直线与抛物线方程联立，求出|BD|，|CE|，可得面积，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解（1）设A（x₀，y₀），由已知得：$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}_{\;}+\frac{p}{2}=3}\\{\frac{y_0}{x_0}=\sqrt{2}}\\{y_0^2=2p{x_0}}\end{array}}\right.$…（3分）
解得：p=2，故求抛物线C的方程为y²=4x…（4分）
（2）由已知直线l₁的斜率存在且不为0，设其方程为y=k（x-1）
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$得k²x²-（2k²+4）x+k²=0…（5分）
∵△＞0，设B（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）所以${x_1}+{x_2}=2+\frac{4}{k^2}$，
∴$|BD|={x_1}+{x_2}+2=4（1+\frac{1}{k^2}）$…（7分）
同理设C（x₃，y₃）、E（x₄，y₄）
所以${x_3}+{x_4}=2+4{k^2}$，∴$|CE|={x_3}+{x_4}+2=4（1+{k^2}）$…（9分）
设四边形BCDE的面积$S=\frac{1}{2}|BD||CE|=8（2+{k^2}+\frac{1}{k^2}）≥32$…（11分）
当且仅当k=±1时，四边形BCDE的面积取得最小值32．…（12分）

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．