Question

10．已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），满足f（0）=2，f（x+1）-f（x）=2x-1
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x∈[-1，2]时，求函数的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件列出方程组，即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用二次函数的对称轴，看看方向即可求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）利用函数的对称轴与x∈[-1，2]，直接求解函数的最大值和最小值．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由f（0）=2，得c=2，又f（x+1）-f（x）=2x-1
得2ax+a+b=2x-1，故$\left\{\begin{array}{l}2a=2\\ a+b=-1\end{array}\right.$，解得：a=1，b=-2，
所以f（x）=x²-2x+2．--------------------------------（4分）
（Ⅱ）f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，图象对称轴为x=1，且开口向上
所以，f（x）单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（-∞，1）．-----------------（8分）
（Ⅲ）f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，对称轴为x=1∈[-1，2]，
故f_min（x）=f（1）=1，又f（-1）=5，f（2）=2，
所以f_max（x）=f（-1）=5．------------------------------------------（12分）

点评 本题考查二次函数的最值，函数的解析式以及单调性的判断，考查计算能力．