Question

已知幂函数f（x）=x^9-3m（m∈N^*）的图象关于原点对称，且在R上函数值随x的增大而增大．
（1）求f（x）表达式；
（2）求满足f（a+1）+f（2a-3）＜0的a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数在（0，+∞）上递增，可得9-3m＞0，再由m∈N^*，且3m-9为奇数，可得m的值，
从而得到f（x）的解析式．
（2）由题意可得不等式即f（a+1）＜f（3-2a），根据函数在R上递增，可得a+1＜3-2a，
由此求得a的范围．

解答：解：（1）∵函数在（0，+∞）上递增，∴9-3m＞0，解得m＜3．
又m∈N^*，∴m=1，2．
又函数的图象关于原点对称，∴3m-9为奇数，故m=2，故f（x）=x³ ．
（2）∵f（a+1）+f（2a-3）＜0，∴f（a+1）＜-f（2a-3）．
又f（x）为奇函数，∴f（a+1）＜f（3-2a），
又函数在R上递增，∴a+1＜3-2a，
解得a＜

2

3

，即a的范围为（-∞，

2

3

）．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，求函数的解析式的方法，属于中档题．