Question

若（x-1）ⁿ的展开式中只有第10项的二项式系数最大，
（1）求展开式中系数最大的项；
（2）设（2x-1）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求a₀+a₂+a₄+…+a_n．

Answer 1

分析：（1）利用条件展开式中只有第10项的二项式系数最大，先求出n=18，然后求展开式中系数最大的项；
（2）利用赋值法分别令x=1和x=-1，即可求出a₀+a₂+a₄+…+a_n的值．

解答：解：（1）∵（x-1）ⁿ的展开式中只有第10项的二项式系数最大，
∴n=18．
设第r+1项的系数最大，则Tr+1=

C

r 18

x18-r•(-1)r，
∴r为偶数，且C

r 18

最大，
即r=8或10．
即展开式中系数最大的项为第9项和第11项的系数最大．
∴T10=

C

9 18

x10，T 11=

C

10 18

x8．
（2）令x=1，则a₀+a₁+a₂+…+a₁₈=1，
令x=-1，则a₀-a₁+a₂-…+a₁₈=[（a₀+a₂+a₄+…+a₁₈）-（a₁+a₃+a₅+…+a₁₇）]=（-3）¹⁸=3¹⁸，
∴两式相加得：2（a₀+a₂+a₄+…+a₁₈）=3¹⁸+1．
∴a₀+a₂+a₄+…+a₁₈=

1+318

2

．
故答案为：1．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，要求熟练掌握二项式系数以及二项式定义的通项公式．利用赋值法是解决二项式定理的基本方法．