Question

设函数f（x）=

2x，x≤0 log2x，x＞0

，【若对任意给定的y∈（2，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a²y²+ay，则正实数a的最小值是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：

分析：此题的突破口在于如何才会存在唯一的x满足条件，结合f（x）的值域范围或者图象，易知只有在f（x）的自变量与因变量存在一一对应的关系时，即只有当f（x）＞1时，才会存在一一对应．

解答：解：根据f（x）的函数，我们易得出其值域为：R
又∵f（x）=2^x，（x≤0）时，值域为（0，1]；f（x）=log₂x，（x＞0）时，其值域为R
∴可以看出f（x）的值域为（0，1]上有两个解，要想f（f（x））=2a²y²+ay，在y∈（2，+∞）上只有唯一的x∈R满足，
必有f（f（x））＞1 （因为2a²y²+ay＞0）
所以：f（x）＞2
解得：x＞4，
当 x＞4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系
∴2a²y²+ay＞1，y∈（2，+∞），且a＞0
所以有：（2ay-1）（ay+1）＞0
解得：y＞

1

2a

或者y＜-

1

a

（舍去）
∴

1

2a

≤2
∴a≥

1

4

故答案为：

1

4

点评：本题可以把2a²y²+ay当作是一个数，然后在确定数的大小后再把它作为一个关于y的函数．