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已知数列{an}的前n项和为Sn=(n+1)2+c,探究{an}是等差数列的充要条件.

{an}为等差数列的充要条件是c=-1
主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法。
解 当{an}是等差数列时,∵Sn=(n+1)2+c,
∴当n≥2时,Sn-1=n2+c,
∴an=Sn-Sn-1=2n+1,
∴an+1-an=2为常数.
又a1=S1=4+c,
∴a2-a1=5-(4+c)=1-c,
∵{an}是等差数列,∴a2-a1=2,∴1-c=2.
∴c=-1,反之,当c=-1时,Sn=n2+2n,
可得an=2n+1 (n≥1)为等差数列,
∴{an}为等差数列的充要条件是c=-1.
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