Question

（2009•上海模拟）已知无穷等比数列{a_n}的前n项和为S_n，各项的和为S，且

lim

n→∞

(Sn-2S)=1，则其首项a₁的取值范围是（　　）

A．（-1，0）∪（0，1）

B．（-2，-1）∪（-1，0）

C．（0，1）∪（1，2）

D．（-2，0）∪（0，2）

Answer 1

分析：由S=

a1

1-q

，S_n=S•（1-qⁿ），知S_n-2S=-S（1+qⁿ），由

lim

n→∞

(Sn-2S)=1，知-S

lim

n→∞

(1+qn) =1，由此能求出首项a₁的取值范围．

解答：解：∵S=

a1

1-q

，S_n=S•（1-qⁿ）
∴S_n-2S=-S（1+qⁿ），
∵

lim

n→∞

(Sn-2S)=1，
∴-S

lim

n→∞

(1+qn) =1，
∵无穷等比数列，0＜|q|＜1，

lim

n→∞

qn=0，
∴S=-1，

a1

1-q

=-1，
q=a1+1．
0＜|a₁+1|＜1，
解得-2＜a₁＜0且a₁≠-1．
首项a₁的取值范围是（-2，-1）∪（（-1，0）．
故选B．

点评：本题考查数列的极限的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列的前n项和公式的灵活运用．