Question

5．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^3}，x≤0\\ x+\frac{1}{x}-3，x＞0\end{array}\right.$，则f（f（1））=-1；若关于x的方程$f（{x^2}+2x+\frac{1}{2}）=m$有4个不同的实数根，则m的取值范围是m＞0或-1＜m＜-$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 化简f（1）=1+1-3=-1，从而求f（f（1））=-1；作函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^3}，x≤0\\ x+\frac{1}{x}-3，x＞0\end{array}\right.$的图象，分类讨论以确定方程的解的个数．

解答 解：f（1）=1+1-3=-1，
f（f（1））=f（-1）=（-1）³=-1；
作函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^3}，x≤0\\ x+\frac{1}{x}-3，x＞0\end{array}\right.$的图象如下，
，
当m＜-1时，f（x）=m的解x∈（-∞，-1）；
而x²+2x+$\frac{1}{2}$≥-$\frac{1}{2}$，
故方程$f（{x^2}+2x+\frac{1}{2}）=m$无解；
当m=-1时，f（x）=m的解为x=-1或x=1；
故x²+2x+$\frac{1}{2}$=-1或x²+2x+$\frac{1}{2}$=1；
故方程$f（{x^2}+2x+\frac{1}{2}）=m$有两个解；
当-1＜m＜-$\frac{1}{8}$时，
x²+2x+$\frac{1}{2}$=$\root{3}{m}$或x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₁，x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₂，
其中x₁，x₂是x+$\frac{1}{x}$-3=m的两个不同的解；
故x²+2x+$\frac{1}{2}$=$\root{3}{m}$无解，x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₁有两个不同的解，
x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₂有两个不同的解；
故方程$f（{x^2}+2x+\frac{1}{2}）=m$有四个不同的根；
当m=-$\frac{1}{8}$时，
x²+2x+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$或x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₁，x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₂，
其中x₁，x₂是x+$\frac{1}{x}$-3=-$\frac{1}{8}$的两个不同的解；
故x²+2x+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$有一个解，x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₁有两个不同的解，
x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₂有两个不同的解；
故方程$f（{x^2}+2x+\frac{1}{2}）=m$有5个不同的根；
当-$\frac{1}{8}$＜m≤0时，
x²+2x+$\frac{1}{2}$=$\root{3}{m}$或x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₁，x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₂，
其中x₁，x₂是x+$\frac{1}{x}$-3=m的两个不同的解；
故x²+2x+$\frac{1}{2}$=$\root{3}{m}$有两个不同的解，x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₁有两个不同的解，
x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₂有两个不同的解；
故方程$f（{x^2}+2x+\frac{1}{2}）=m$有6个不同的根；
当m＞0时，
x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₁或x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₂，
其中x₁，x₂是x+$\frac{1}{x}$-3=m的两个不同的解；
故x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₁有两个不同的解，x²+2x+$\frac{1}{2}$=x₂有两个不同的解；
故方程$f（{x^2}+2x+\frac{1}{2}）=m$有4个不同的根．
综上所述，m＞0或-1＜m＜-$\frac{1}{8}$；
故答案为：m＞0或-1＜m＜-$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了分段函数．的应用及数形结合的思想应用，同时考查了分类讨论的思想应用．