Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2

F1F2

+

F2Q

=

0

，|F₁F₂|=2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用

F2A

⊥

AQ

，求出Q的坐标，利用2

F1F2

+

F2Q

=

0

，可得F₁为F₂Q中点，结合|F₁F₂|=2，从而可求几何量，即可得到椭圆C的方程；
（2）设出l方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合菱形对角线垂直，即(

PM

+

PN

)•

MN

=0，即可求得m的取值范围．

解答：解：（1）设Q（x₀，0），由F₂（c，0），A（0，b）知

F2A

=（-c，b），

AQ

=（x₀，-b），
∵

F2A

⊥

AQ

，∴-cx₀-b²=0，
∴x₀=-

b2

c

，
∵2

F1F2

+

F2Q

=

0

，∴F₁为F₂Q中点，
∴-

b2

c

+c=-2c，∴b²=3c²=a²-c²
∵|F₁F₂|=2，∴c=1，∴b=

3

，a=2
∴所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1        …6分
（2）由（1）知F₂（1，0），l：y=k（x-1）
代入椭圆方程，可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0…8分
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，

PM

+

PN

=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）
∵菱形对角线垂直，∴(

PM

+

PN

)•

MN

=0
即

y1+y2

x1+x2-2m

×k=-1 …11分
故k（y₁+y₂）+x₁+x₂-2m=0，则k²（x₁+x₂-2）+x₁+x₂-2m=0，
∴k²（

8k2

3+4k2

-2）+

8k2

3+4k2

-2m=0，
由已知条件知k≠0且k∈R，∴m=

k2

3+4k2

=

1

3 k2 +4

，∴0＜m＜

1

4

故存在满足题意的点P且m的取值范围是0＜m＜

1

4

．…14分

点评：本题考查椭圆的方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．