Question

8．在三棱锥P-ABC中，面PAB、PAC、PBC两两垂直，且PA=2，PB=3，PC=4
（1）求证：PA⊥BC；
（2）求点P到面ABC的距离．

Answer 1

分析 （1）利用同一法，证明：AP⊥平面PBC，即可证明PA⊥BC；
（2）利用等体积法，求点P到面ABC的距离．

解答 （1）证明：过A作AP′⊥PB，
∵面PAB、PBC两两垂直，
∴AP′⊥平面PBC，
同理过A作AP″⊥PC，则AP″⊥平面PBC，
∴AP′，AP″重合于AP，
∴AP⊥平面PBC，
∵BC?平面PBC，
∴PA⊥BC；
（2）解：由（1）可得PA，PB，PC两两垂直，
∵PA=2，PB=3，PC=4，∴AB=$\sqrt{13}$，BC=5，AC=$\sqrt{20}$
∴cos∠BCA=$\frac{25+20-13}{2×5×\sqrt{20}}$=$\frac{32}{20\sqrt{5}}$=$\frac{8}{5\sqrt{5}}$，
∴sin∠BCA=$\sqrt{1-\frac{64}{125}}$=$\frac{\sqrt{61}}{5\sqrt{5}}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×5×\sqrt{20}$×$\frac{\sqrt{61}}{5\sqrt{5}}$=$\sqrt{61}$，
设点P到面ABC的距离为h，则由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×3×4$=$\frac{1}{3}×\sqrt{61}h$，
∴h=$\frac{12\sqrt{61}}{61}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查点面距离，正确求体积是关键．