Question

设数列{a_n} 的前n项和为S_n ，已知S₁=1，

Sn+1

Sn

=

n+c

n

（c为常数，c≠1，n∈N^*），且a₁，a₂，a₃成等差数列．
（1）求c的值；
（2）求数列{a_n} 的通项公式；
（3）若数列{b_n} 是首项为1，公比为c的等比数列，记A_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，B_n=a₁b₁-a₂b₂+…+（-1）^n-1a_nb_n，n∈N^*．证明：A_2n+3B_2n=

4

3

（1-4ⁿ）．

Answer 1

分析：（1）根据题意可求得a_n+1=

c

n

Sn，结合a₁，a₂，a₃成等差数列，可得c²-3c+2=0，解之即可；
（2）利用累乘法S_n=S₁×

S2

S1

×…×

Sn

Sn-1

可求得S_n，继而可求得数列{a_n} 的通项公式；
（3）依题意求得b_n=c^n-1后，可分别求得A_2n与B_2n，进一步可求得A_2n+3B_2n的值；
另解，先用错位相减法求A_n，B_n，再验证A_2n+3B_2n=

4

3

（1-4ⁿ）．

解答：解：（1）∵S₁=1，

Sn+1

Sn

=

n+c

n

，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=

c

n

Sn，-------------------------（2分）
∴a₁=S₁=1，a₂=cS₁=c，a₃=

c

2

S2=

c

2

(1+c)．
∵a₁，a₂，a₃成等差数列，
∴2a₂=a₁+a₃，
即2c=1+

c(1+c)

2

，
∴c²-3c+2=0．---------------------------------------------------（5分）
解得c=2，或c=1（舍去）．-----------------------------------------------------------------（6分）
（2）∵）∵S₁=1，

Sn+1

Sn

=

n+2

n

，
∴S_n=S₁×

S2

S1

×…×

Sn

Sn-1

=1×

3

1

×

4

2

×…×

n+1

n-1

=

n(1+n)

2

（n≥2），-------------------（8分）
∴a_n=S_n-S_n-1=

n(1+n)

2

-

n(n-1)

2

=n（n≥2），------------------------------------------（9分）
又a₁=1，∴数列{a_n}的通项公式是a_n=n（n∈N^*）．-----------------------------------（10分）
（3）证明：∵数列{b_n}是首项为1，公比为c的等比数列，
∴b_n=c^n-1．---------（11分）
∵A_2n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_2nb_2n，B_2n=a₁b₁-a₂b₂+…-a_2nb_2n，
∴A_2n+B_2n=2（a₁b₁+a₃b₃+…+a_2n-1b_2n-1），①
A_2n-B_2n=2（a₂b₂+a₄b₄+…+a_2nb_2n），②
①式两边乘以c得　c（A_2n+B_2n）=2（a₁b₂+a₃b₄+…+a_2n-1b_2n）③
由②③得（1-c）A_2n-（1+c）B_2n=A_2n-B_2n-c（A_2n+B_2n）
=2[（a₂-a₁）b₂+（a₄-a₃）b₄+…+（a_2n-a_2n-1）b_2n]
=2（c+c³+…+c^2n-1）
=

2c(1-c2n) 1-c2

，
将c=2代入上式，得A_2n+3B_2n=

4

3

（1-4ⁿ）．-----------------------------------------（14分）
另证：先用错位相减法求A_n，B_n，再验证A_2n+3B_2n=

4

3

（1-4ⁿ）．
∵数列{b_n}是首项为1，公比为c=2的等比数列，∴bn=2n-1．--------------（11分）
又是a_n=n（n∈N^*），所以A_2n=1×2⁰+2×2¹+…+2n×2^2n-1①
B_2n=1×2⁰-2×2¹+…-2n×2^2n-1②
将①乘以2得：
2A_2n=1×2¹+2×2²+…+2n×2²ⁿ③
①-③得：-A_2n=2⁰+2¹+…+2^2n-1-2n×2²ⁿ=

1(1-22n)

1-2

-2n×2²ⁿ，
整理得：A_2n=4ⁿ（2n-1）+1-------------------------（12分）
将②乘以-2得：-2B_2n=-1×2¹+2×2²-…+2n×2²ⁿ④
②-④整理得：3B_2n=2⁰-2¹+…+2^2n-1-2n×2²ⁿ=

1(1-22n)

1-(-2)

-2n×2²ⁿ=

1-4n

3

-2n×4ⁿ，（13分）
∴A_2n+3B_2n=

4

3

（1-4ⁿ）-----------------------------------------（14分）

点评：本题考查数列的求和，考查等差数列的通项公式，考查累乘法与错位相减法在解题中的应用，属于难题．