【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC= AD=1,CD= .
(1)求证:平面PQB⊥平面PAD;
(2)若二面角M﹣QB﹣C为30°,求线段PM与线段MC的比值t.
【答案】
(1)证明:∵AD∥BC,BC= AD,Q为AD的中点.
∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD∥BQ.
∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°,即QB⊥AD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴BQ⊥平面PAD.∵BQ平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD.
(2)解:∵PA=PD,Q为AD的中点.∴PQ⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PQ⊥平面ABCD(6分)
如图,以Q为原点,QA为x轴,QB为y轴,QP为z轴,建立空间直角坐标系.
则平面BQC的一个法向量为 =(0,0,1),
Q(0,0,0),P(0,0, ),B(0, ,0),C(﹣1, ,0).
设M(x,y,z),则 =(x,y,z﹣ ), =(﹣1﹣x, ﹣y,﹣z),
∵ =t ,
∴ ,∴ .
在平面MBQ中, =(0, ,0), =(﹣ , , ),
设平面MBQ的一个法向量 =(x,y,z),
则 ,取x= ,得 =( ),
∵二面角MBQC为30°,cos30°=|cos< >|= = = ,
解得t=3.
【解析】(1)推导出四边形BCDQ为平行四边形,从而CD∥BQ.又QB⊥AD.从而BQ⊥平面PAD,由此能证明平面PQB⊥平面PAD.(2)以Q为原点,QA为x轴,QB为y轴,QP为z轴,建立空间直角坐标系.利用向量法能求出t的值.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用平面与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,三棱柱A1B1C1-ABC中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面三角形ABC是正三角形,E是BC中点,则下列叙述正确的是( )
A.AC⊥平面ABB1A1
B.CC1与B1E是异面直线
C.A1C1∥B1E
D.AE⊥BB1
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知f(x)=log2(1+x)+log2(1﹣x).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并加以说明;
(3)求f( )的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆M的方程为x2+(y﹣2)2=1,直线l的方程为x﹣2y=0,点P在直线l上,过P点作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.
(1)若∠APB=60°,试求点P的坐标;
(2)若P点的坐标为(2,1),过P作直线与圆M交于C,D两点,当 时,求直线CD的方程;
(3)求证:经过A,P,M三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=loga(3﹣ax).
(1)当 时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;
(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[2,3]上为增函数,并且f(x)的最大值为1.如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com