Question

已知函数f（x）=|x²-k-1|-kx．
（1）若k=1，求方程f（x）=0的解；
（2）若k＞0，不等式f（x）≤0的解集为A，
①求集合A；
②若集合B={x|（x-1）（x-2）（x-3k）≥0}，A⊆B，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）若k=1，函数f（x）=|x²-2|-x，分 x² ≥2和 x² ＜2两种情况分别求出方程f（x）=0的解．
（2）①若k＞0，不等式即|x²-k-1|≤kx，结合图象 不等式f（x）≤0的解集 A={x|1≤x≤k+1}．
②分0＜3k＜1、3k=1、2＞3k＞1、3k=2、3k＞2五种情况分别求出集合B，由A⊆B求出k的范围，最后取并集，即得所求．

解答：解：（1）若k=1，函数f（x）=|x²-k-1|-kx=|x²-2|-x．
当 x² ≥2时，f（x）=x²-2-x，由f（x）=0 解得 x=-1 或 x=2（舍去）．
当 x² ＜2时，f（x）=2-x² -x，f（x）=0 解得 x=-2（舍去）或x=1．
综上，x=-1 或x=1．
（2）若k＞0，不等式f（x）≤0，即|x²-k-1|≤kx．
①由|x²-k-1|=kx，解得 x=1 或 x=k+1，结合图象可得 方程|x²-k-1|=kx 的解为x=1 和 x=k+1，
故不等式f（x）≤0的解集 A={x|1≤x≤k+1}．

②若集合B={x|（x-1）（x-2）（x-3k）≥0}，A={x|1≤x≤k+1}
当 0＜3k＜1时，B={x|1≥x≥3k 或 x≥2}，由A⊆B 可得 k不存在．
当3k=1时，B={x|x≥2}，A⊆B不可能．
当2＞3k＞1时，B={x|3k≥x≥1 或 x≥2}，由A⊆B 可得k+1≤3k，k≥

1

2

，从而可得

2

3

＞k≥

1

2

．
当3k=2时，B={x|x≥1}，A⊆B 恒成立，故 k=

2

3

满足条件．
当3k＞2时，B={x|x≥3k 或1≤x≤2}，由A⊆B 可得k+1≤2，k≤1，从而可得1≥k＞

2

3

．
综上可得 1≥k≥

1

2

，故实数k的取值范围为[

1

2

，1]．

点评：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，带有绝对值得函数的研究方法，体现了分类讨论及数形结合的数学思想，属于中档题．