Question

若对任意实数x，不等式|x+3|+|x-1|≥a²-3a恒成立，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：由绝对值的集合意义求得|x+3|+|x-1|的最小值，把不等式|x+3|+|x-1|≥a²-3a恒成立转化为a²-3a≤4
，求解该不等式得答案．

解答： 解：由绝对值的几何意义知，|x+3|+|x-1|表示数轴上的动点x与两定点-3，1的距离，
则|x+3|+|x-1|的最小值为4，
要使不等式|x+3|+|x-1|≥a²-3a恒成立，则
a²-3a≤4，即a²-3a-4≤0，解得：-1≤a≤4．
∴满足对任意实数x，不等式|x+3|+|x-1|≥a²-3a恒成立的实数a的取值范围为[-1，4]．
故答案为：[-1，4]．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了绝对值的几何意义，考查了数学转化思想方法，是中档题．