Question

已知函数f（x）=x²，g（x）=（

1

2

）^x-m
（1）x∈[-1，3]求f（x）的值域；
（2）若对?x∈[0，2]，g（x）≥1成立，求实数m的取值范围；
（3）若对?x₁∈[0，2]，?x₂∈[-1，3]，使得g（x₁）≤f（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直接根据二次函数的性质，确定函数的单调性，从而可得函数的最值，即可求得函数的值域．
（2）根据对?x₁∈[0，2]，g（x）≥1成立，等价于g（x）在[0，2]的最小值大于或等于1，而g（x）在[0，2]上单调递减，利用其最小建立关于m的不等关系即可求得实数m的取值范围．
（3）对?x₁∈[0，2]，?x₂∈[-1，3]，使得g（x₁）≤f（x₂）成立，等价于g（x）在[0，2]的最大值小于或等于f（x）在[-1，3]上的最大值9，从而建立关于m的不等式，由此可求结论．

解答：解：（1）当x∈[-1，3]时，函数f（x）=x²∈[0，9]，
∴f（x）的值域[0，9]…（4分）
（2）对?x₁∈[0，2]，g（x）≥1成立，
等价于g（x）在[0，2]的最小值大于或等于1．
而g（x）在[0，2]上单调递减，所以
  (

1

2

)2-m≥1，即m≤-

3

4

           （8分）
（3）对?x₁∈[0，2]，?x₂∈[-1，3]，使得g（x₁）≤f（x₂）成立，
等价于g（x）在[0，2]的最大值小于或等于f（x）在[-1，3]上的最大值9  （10分）
由1-m≤9，
∴m≥-8．          （14分）

点评：本题考查全称命题、特称命题及恒成立问题，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是转化为恒成立问题加以解决，属于基础题．