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已知椭圆C:  
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的上顶点坐标为(0,
3
)
,离心率为
1
2
.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设P为椭圆上一点,A为椭圆左顶点,F为椭圆右焦点,求
PA
PF
的取值范围.
分析:(I)根据已知条件分别求出a,b,c的值,从而确定椭圆方程.
(II)根据题意,设P(x,y)根据椭圆的方程,易得A1、F2的坐标,将其代入
PA
PF
中,可得关于x、y的关系式,结合双曲线的方程,可得
PA
PF
=
1
4
x2+x+1,由x的范围,可得答案.
解答:解:(1)设椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

由已知b=
3
, 
c
a
=
1
2

所以a=2, b=
3
, c=1

得椭圆的方程为
x2
4
+
y2
3
=1


(Ⅱ)设P(x,y),
又A(-2,0),F(1,0),则
PA
=(-2-x,-y),
PF
=(1-x,-y)

PA
PF
=(-2-x,-y)•(1-x,-y)=(x+2)(x-1)+y2

=x2+x-2+y2=
1
4
x2+x+1(-2≤x≤2)

当x=0时,取得最小值0,当x=2时,取得最大值4,
PA
PF
∈[0,4]
点评:本题考查椭圆方程的应用、平面向量数量积的运算等,涉及最值问题.最值问题解题的思路是先设出变量,表示出要求的表达式,结合圆锥曲线的方程,将其转化为只含一个变量的关系式,进而由不等式的性质或函数的最值进行计算.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知离心率为
6
3
的椭圆C:
x2
a 2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)经过点P(
3
,1)

(1)求椭圆C的方程;
(2)过左焦点F1且不与x轴垂直的直线l交椭圆C于M、N两点,若
OM
ON
=
4
6
3tan∠MON
(O为坐标原点),求直线l的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知方向向量为
V
=(1,
3
)
的直线l过椭圆C:
x2
a 2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦点以及点(0,-2
3
),直线l与椭圆C交于A、B两点,且A、B两点与另一焦点围成的三角形周长为4
6

(1)求椭圆C的方程;
(2)过左焦点F1且不与x轴垂直的直线m交椭圆于M、N两点,
OM
ON
=
4
6
3tan∠MON
≠0
(O坐标原点),求直线m的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知离心率为
6
3
的椭圆C:
x2
a 2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)经过点P(
3
,1)

(1)求椭圆C的方程;
(2)过左焦点F1且不与x轴垂直的直线l交椭圆C于M、N两点,若
OM
ON
=
4
6
3tan∠MON
(O为坐标原点),求直线l的方程.

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