Question

5．已知在双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1上有一点P，F₁，F₂为两焦点．
（1）若PF₁⊥PF₂，求△F₁PF₂的面积及P的坐标；
（2）若∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积及P的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出两个焦点F₁、F₂ 的坐标，Rt△PF₁F₂中，由勾股定理及双曲线的定义得|PF₁|•|PF₂ |=18，从而求得△PF₁F₂面积$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂ |的值．
（2）△PF₁F₂中，由余弦定理及双曲线的定义得|PF₁|•|PF₂ |=36，从而求得△PF₁F₂面积的值．

解答 解：（1）由题意得，a=4，b=3，c=5，∴F₁（-5，0 ）、F₂（5，0），
Rt△PF₁F₂中，由勾股定理得4c²=|PF₁|²+|PF₂|²=（|PF₁ |-|PF₂|）²+2•|PF₁|•|PF₂ |=4a²+2•|PF₁|•|PF₂ |，
∴100=4×16+2•|PF₁|•|PF₂ |，∴|PF₁|•|PF₂ |=18，
∴△PF₁F₂面积为$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂ |=9．
设P（x，y），则$\frac{1}{2}×10×|y|$=9，∴|y|=$\frac{9}{5}$，∴|x|=$\frac{4}{5}\sqrt{34}$
∴P（$\frac{4}{5}\sqrt{34}$，$\frac{9}{5}$）或P（$\frac{4}{5}\sqrt{34}$，-$\frac{9}{5}$）或P（-$\frac{4}{5}\sqrt{34}$，$\frac{9}{5}$）或P（-$\frac{4}{5}\sqrt{34}$，-$\frac{9}{5}$）；
（2）△PF₁F₂中，由余弦定理得4c²=|PF₁|²+|PF₂|²-•|PF₁|•|PF₂ |=（|PF₁ |-|PF₂|）²+|PF₁|•|PF₂ |=4a²+|PF₁|•|PF₂ |，
∴100=4×16+|PF₁|•|PF₂ |，∴|PF₁|•|PF₂ |=36，
∴△PF₁F₂面积为$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂ |$•\frac{\sqrt{3}}{2}$=9$\sqrt{3}$．
设P（x，y），则$\frac{1}{2}×10×|y|$=9$\sqrt{3}$，∴|y|=$\frac{9\sqrt{3}}{5}$，∴|x|=$\frac{8}{5}\sqrt{13}$．
∴P（$\frac{8}{5}\sqrt{13}$，$\frac{9\sqrt{3}}{5}$）或P（$\frac{8}{5}\sqrt{13}$，-$\frac{9\sqrt{3}}{5}$）或P（-$\frac{8}{5}\sqrt{13}$，$\frac{9\sqrt{3}}{5}$）或P（-$\frac{8}{5}\sqrt{13}$，-$\frac{9\sqrt{3}}{5}$）．

点评 本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出|PF₁|•|PF₂ |的值是解题的关键．