Question

7．已知函数f（x）=（m²+4m-5）x²+4（1-m）x+3．
（1）若对任意实数x，函数值恒大于零，求实数m的取值范围；
（2）若函数有两个不同的零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对二次项系数进行讨论，令f_min（x）＞0即可；
（2）因为函数有两个不同的零点，所以f（x）为二次函数且△＞0，列出不等式组解出即可．

解答 解：（1）①若m²+4m-5=0，解得m=1或m=-5．
当m=1时，f（x）=3，符合题意；
当m=-5时，f（x）=24x+3，显然值域为R，不符合题意．
②若m²+4m-5≠0则f（x）为二次函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+4m-5＞0}\\{[4（1-m）]^{2}-12（{m}^{2}+4m-5）＜0}\end{array}\right.$
解得1＜m＜19．
综上所述：实数m的取值范围是[1，19）．
（2）若函数有两个不同的零点，则函数必为二次函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+4m-5≠0}\\{[4（1-m）]^{2}-12（{m}^{2}+4m-5）＞0}\end{array}\right.$，
解得m＜-1或m＞19且≠-5．
综上所述，实数m的取值范围是（-∞，-5）∪（-5，1）∪（19，+∞）．

点评 本题考查了二次函数的最值，零点与系数的关系和分类讨论思想．