Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（1）求角B的值；
（2）已知函数f（x）=2cos（2x-B），将f（x）的图象向左平移

π

12

后得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，2sinA cosB+sinA=0，由 sinA≠0，可得 cosB 
的值，从而得到角B 的值．
（2）由 B=

2π

3

，可得 函数f（x）=2cos（2x-

2π

3

），由题意得：函数g（x）=2cos[2（x+

π

12

）-

2π

3

]
=2sin2x，由  2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得f（x）的单调增区间．

解答：解：（1）由正弦定理得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，故 2sinAcosB+sin（B+C）=0，
因为 A+B+C=π，所以 2sinA cosB+sinA=0．∵sinA≠0，∴cosB=-

1

2

，
又 B 为三角形的内角，所以 B=

2π

3

．
（2）∵B=

2π

3

，∴函数f（x）=2cos（2x-

2π

3

），
由题意得：函数g（x）=2cos[2（x+

π

12

）-

2π

3

]=2cos（2x-

π

2

 ）=2sin2x，
由  2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

π

2

，k∈z，得 kπ-

π

4

≤x≤kπ+

π

4

，
故f（x）的单调增区间为：[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，k∈z．

点评：本题考查正弦定理，正弦函数的单调性，简单的三角变换，y=Asin（ωx+∅）的图象变换，求出角B 的值，是解题的关键．