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试题

例1．已知a，b，c∈（0，1），求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一个不大于 $数学公式$ ．

证明：反证法假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中都大于 $\text{[math]}$
（1-a）b＞ $\text{[math]}$ （1-b）c＞ $\text{[math]}$ （1-c）a＞ $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ ①
$\text{[math]}$ ②
$\text{[math]}$ ③
①②③相加： $\text{[math]}$

由基本不等式a+b≥2 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ④
$\text{[math]}$ ⑤ $\text{[math]}$ ⑥
④⑤⑥三式相加 $\text{[math]}$
与 $\text{[math]}$ 矛盾所以假设不成立∴命题得证∴（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一个不大于 $\text{[math]}$ ．
分析：首先根据题意，通过反证法假设假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中都大于 $\text{[math]}$ ，得出： $\text{[math]}$ ；然后根据基本不等式，得出 $\text{[math]}$ ．相互矛盾，即可证明．
点评：本题考查反证法的应用，涉及不等式的证明与基本不等式的应用，属于中档题．

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