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    【题目】已知函数.

    （1）证明：函数在区间上是减函数；

    （2）当时，证明：函数只有一个零点.

    【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

    【解析】试题分析：（1）只需证明f(x)的导函数恒成立，且不恒等于0.注意定义域和参数的范围。（2）当时， ，其定义域是，通过求导分析函数的单调性及极值可知函数f(x)的图像与x轴相切于（1,0）点，其余点均在x轴下方，所以只有一个零点。

    试题解析：（1）显然函数的定义域为.　

    ∴ .

    ∵， ，∴， ，∴，

    所以函数在上是减函数.

    （2）当时， ，其定义域是，

    ∴.　

    令，即，解得或.

    ∵，∴舍去.

    当时， ；当时， .　

    ∴函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

    ∴当时，函数取得最大值，其值为，

    当时， ，即，

    ∴函数只有一个零点.

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