Question

在一次数学考试中，共有10道选择题，每题均有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，评分标准规定：“每道题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有6道题是正确的，其余题目中：有两道题可判断两个选项是错误的，有一道可判断一个选项是错误的，还有一道因不理解题意只好乱猜，请求出该考生：
（Ⅰ）得50分的概率；
（Ⅱ）设该考生所得分数为ξ，求ξ的数学期望．

Answer 1

分析：设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选择对为事件A，“有一道可判断一个选项是错误的”选择对为事件B，“有一道因不理解题意”选择对为事件C，再根据题意分别求出其发生的概率．
（Ⅰ）由题意可得：得50（分）即10道题都做对，即可根据题意求出答案．
（Ⅱ）根据题意可得：ξ的可能值是30，35，40，45，50，再分别求出其发生的概率，进而求出ξ的数学期望．

解答：解：设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选择对为事件A，“有一道可判断一个选项是错
误的”选择对为事件B，“有一道因不理解题意”选择对为事件C，则P(A)=

1

2

，P(B)=

1

3

，P(C)=

1

4

（Ⅰ）由题意可得：得50（分）即10道题都做对，所以其概率为P=

1

2

×

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

48

；…（5分）
（Ⅱ）根据题意可得：ξ的可能值是30，35，40，45，50，
所以P(ξ=30)=

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

=

1

8

；…（6分）
P(ξ=35)=

C

1 2

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

=

17

48

；…（8分）
P(ξ=40)=

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

+

C

1 2

1

2

×

1

2

×

1

3

×

3

4

+

C

1 2

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

=

17

48

；…（10分）
P(ξ=45)=

1

2

×

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

+

C

1 2

1

2

×

1

2

×

1

3

×

1

4

=

7

48

；…（12分）
P(ξ=50)=

1

2

×

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

48

所以ξ的数学期望为：Eξ=30×

1

8

+(35+40)×

17

48

+45×

7

48

+50×

1

48

=

455

12

．…（13分）

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等可能事件的概率公式与相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的数学期望，此题属于中档题，是近几年高考命题的热点之一．