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数列{an}的前n项和Sn,当n≥1时,Sn+1是an+1与Sn+1+k的等比中项(k≠0).
(1)求证:对于n≥1有
1
Sn
-
1
Sn+1
=
1
k

(2)设a1=-
k
2
,求Sn
(3)对n≥1,试证明:S1S2+S2S3+…+SnSn+1
k2
2
.
分析:(1)由题意知Sn+12=(Sn+1-Sn)(Sn+1+k),-Sn+1Sn+k(Sn+1-Sn)=0,等式两边同除Sn+1Sn得:-1+k(
1
Sn
-
1
Sn+1
)=0

由此可知
1
Sn
-
1
Sn+1
=
1
k

(2)由(1)知:
1
Sn
=-
n+1
k
,由此可知Sn=-
k
n+1

(3)S1S2+S2S3+…+SnSn+1=
k2
2•3
+
k2
3•4
++
k2
(n+1)(n+2)
=k2[(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)++(
1
n+1
-
1
n+2
)]
=k2(
1
2
-
1
n+2
)<
k2
2
解答:证明:(1)由Sn+12=an+1•(Sn+1+k)而an+1=Sn+1-Sn
∴Sn+12=(Sn+1-Sn)(Sn+1+k)
∴-Sn+1Sn+k(Sn+1-Sn)=0
等式两边同除Sn+1Sn得:-1+k(
1
Sn
-
1
Sn+1
)=0

1
Sn
-
1
Sn+1
=
1
k
;(4分)
(2)由(1)知:{
1
Sn
}是以-
2
k
为首项,
-1
k
为公差的等差数列,
1
Sn
=-
n+1
k

Sn=-
k
n+1
;(8分)
(3)S1S2+S2S3+…+SnSn+1
=
k2
2•3
+
k2
3•4
++
k2
(n+1)(n+2)

=k2[(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)++(
1
n+1
-
1
n+2
)]

=k2(
1
2
-
1
n+2
)<
k2
2
.(12分)
点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设等比数列{an}的公比q≠1,Sn表示数列{an}的前n项的和,Tn表示数列{an}的前n项的乘积,Tn(k)表示{an}的前n项中除去第k项后剩余的n-1项的乘积,即Tn(k)=
Tn
ak
(n,k∈N+,k≤n),则数列
SnTn
Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)
的前n项的和是
a12
2-q-q-1
(n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
a12
2-q-q-1
(n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
(用a1和q表示)

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科目:高中数学 来源: 题型:

若数列{an}的通项an=
1
pn-q
,实数p,q满足p>q>0且p>1,sn为数列{an}的前n项和.
(1)求证:当n≥2时,pan<an-1
(2)求证sn
p
(p-1)(p-q)
(1-
1
pn
)

(3)若an=
1
(2n-1)(2n+1-1)
,求证sn
2
3

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知Sn是数列{an}的前n项和,an>0,Sn=
a
2
n
+an
2
,n∈N*
(1)求证:{an}是等差数列;
(2)若数列{bn}满足b1=2,bn+1=2an+bn,求数列{bn}的通项公式bn

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•商丘二模)数列{an}的前n项和为Sn,若数列{an}的各项按如下规律排列:
1
2
1
3
2
3
1
4
2
4
3
4
1
5
2
5
3
5
4
5
…,
1
n
2
n
,…,
n-1
n
,…有如下运算和结论:
①a24=
3
8

②数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比数列;
③数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前n项和为Tn=
n2+n
4

④若存在正整数k,使Sk<10,Sk+1≥10,则ak=
5
7

其中正确的结论是
①③④
①③④
.(将你认为正确的结论序号都填上)

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科目:高中数学 来源: 题型:

给出下列命题:
①若数列{an}的前n项和Sn=2n+1,则数列{an}为等比数列;
②在△ABC中,如果A=60°,a=
6
,b=4
,那么满足条件的△ABC有两解;
③设函数f(x)=x|x-a|+b,则函数f(x)为奇函数的充要条件是a2+b2=0;
④设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),则M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
其中真命题的序号是

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