Question

数列{a_n}的前n项和S_n，当n≥1时，S_n+1是a_n+1与S_n+1+k的等比中项（k≠0）．
（1）求证：对于n≥1有

1

Sn

-

1

Sn+1

=

1

k

；
（2）设a1=-

k

2

，求S_n；
（3）对n≥1，试证明：S₁S₂+S₂S₃+…+S_nS_n+1＜

k2

2

.

Answer 1

分析：（1）由题意知S_n+1²=（S_n+1-S_n）（S_n+1+k），-S_n+1S_n+k（S_n+1-S_n）=0，等式两边同除Sn+1Sn得：-1+k(

1

Sn

-

1

Sn+1

)=0
由此可知

1

Sn

-

1

Sn+1

=

1

k

．
（2）由（1）知：

1

Sn

=-

n+1

k

，由此可知Sn=-

k

n+1

．
（3）S₁S₂+S₂S₃+…+S_nS_n+1=

k2

2•3

+

k2

3•4

++

k2

(n+1)(n+2)

=k2[(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)++(

1

n+1

-

1

n+2

)]=k2(

1

2

-

1

n+2

)＜

k2

2

．

解答：证明：（1）由S_n+1²=a_n+1•（S_n+1+k）而a_n+1=S_n+1-S_n
∴S_n+1²=（S_n+1-S_n）（S_n+1+k）
∴-S_n+1S_n+k（S_n+1-S_n）=0
等式两边同除Sn+1Sn得：-1+k(

1

Sn

-

1

Sn+1

)=0
∴

1

Sn

-

1

Sn+1

=

1

k

；（4分）
（2）由（1）知：{

1

Sn

}是以-

2

k

为首项，
以

-1

k

为公差的等差数列，
∴

1

Sn

=-

n+1

k

∴Sn=-

k

n+1

；（8分）
（3）S₁S₂+S₂S₃+…+S_nS_n+1
=

k2

2•3

+

k2

3•4

++

k2

(n+1)(n+2)

=k2[(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)++(

1

n+1

-

1

n+2

)]
=k2(

1

2

-

1

n+2

)＜

k2

2

．（12分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．