Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．
（1）求b的值；
（2）若当x∈[-1，

9

4

]时，f(x)＜c2-

7

6

恒成立，求c的取值范围；
（3）对任意的x₁，x₂∈[-1，

9

4

]，|f(x1)-f(x2)|≤

14

3

是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）（1）先对函数进行求导，然后根据f'（1）=0求出b的值；
（2）先求函数在区间上的最小值，再转化为解不等式即可；
（3）将问题等价转化为|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|，再在（2）的基础上求出区间上的最小值即可证得

解答：解：（1）因为f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+bx+c，
所以f′（x）=x²-3x+b．…（2分）
因为f（x）在x=1处取得极值，所以f′（1）=1-3+b=0．解得b=2．…（4分）
（2）因为f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x+c．所以f′（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2），
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2	(2， 9 4 )	9 4
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	- 23 6 +c	单调递增	5 6 +c	单调递减	2 3 +c	单调递增	45 64 +c

因此当x=1时，f（x）有极大值

5

6

+c．…（6分）
又f(

9

4

)=

45

64

+c＜

5

6

+c，f(-1)=-

23

6

+c＜

5

6

+c，
∴x∈[-1，

9

4

]时，f（x）最大值为f(1)=

5

6

+c．…（7分）
∴c2-

7

6

＞

5

6

+c．∴c＜-1或c＞2．…（8分）
（3）对任意的x₁，x₂∈[-1，

9

4

]，|f(x1)-f(x2)|≤

14

3

恒成立．
由（2）可知，当x=2时，f（x）有极小值

2

3

+c．
又f(-1)=-

23

6

+c＜

2

3

+c，f(1)=

5

6

+c＞-

23

6

+c．
∴x∈[-1，

9

4

]时，f（x）的最小值为-

23

6

+c．…（10分）
∴|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=

14

3

，故结论成立．…（12分）

点评：本题主要考查函数的极值与其导函数之间的关系以及函数在闭区间上最值的求法．导数时高考的热点问题，每年必考要给予充分的重视．