【题目】已知椭圆的左焦点为,右顶点为,点的坐标为的面积为,过点的动直线被椭圆所截得的线段长度的最小值为 .
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ) 是椭圆上异于顶点的一点,且直线是线段延长线上一点,且,的半径为是的两条切线,切点分别为,求的最大值,并求出取得最大值时直线的斜率 .
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)的最大值为,取得最大值时直线的斜率为.
【解析】分析:(Ⅰ)由已知,可得,解得设椭圆方程:,
当直线斜率不存在时,线段长为;
当直线斜率存在时,设方程:,由弦长公式可得的长小于,
易知当时,的最小值为,从而,由此得到椭圆的方程;(
Ⅱ)由(Ⅰ)知,,而的半径,
又直线的方程为,可得 ,
由题意可知,要求的最大值,即求的最小值,由题意可知,转化为关于的函数,换元后利用配方法可得
的最大值,以及取得最大值时直线的斜率 .
详解:
(Ⅰ)由已知,可得.又由,可得,解得
设椭圆方程:,
当直线斜率不存在时,线段长为;
当直线斜率存在时,设方程:,
由,得,从而
,
易知当时,的最小值为,从而,因此,椭圆的方程为:.
(Ⅱ)由第(Ⅰ)问知,,而的半径,
又直线的方程为,由,得,
因此,
由题意可知,要求的最大值,即求的最小值
而
,令,则,
因此, ,
当且仅当,即时等号成立,此时,
所以,因此,所以的最大值为.
综上所述,的最大值为,取得最大值时直线的斜率为.
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【题目】(题文)如图所示的某种容器的体积为,它是由圆锥和圆柱两部分连接而成,圆柱与圆锥的底面半径都为.圆锥的高为,母线与底面所成的角为;圆柱的高为,已知圆柱底面的造价为元,圆柱侧面造价为元,圆锥侧面造价为元.
(1)将圆柱的高表示为底面半径的函数,并求出定义域;
(2)当容器造价最低时,圆柱的底面半径为多少?
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【题目】某建材商场国庆期间搞促销活动,规定:顾客购物总金额不超过800元,不享受任何折扣;如果顾客购物总金额超过800元,则超过800元部分享受一定的折扣优惠,并按下表折扣分别累计计算:
可以享受折扣优惠金额 | 折扣率 |
不超过500元的部分 | |
超过500元的部分 |
若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元,则此人购物实际所付金额为
A.1500元B.1550元C.1750元D.1800元
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【题目】如图1为某省2018年1~4月快递业务量统计图,图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图,下列对统计图理解错误的是( )
A. 2018年1~4月的业务量,3月最高,2月最低,差值接近2000万件
B. 2018年1~4月的业务量同比增长率均超过50%,在3月底最高
C. 从两图来看,2018年1~4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致
D. 从1~4月来看,该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆(),圆(),若圆的一条切线与椭圆相交于两点.
(1)当, 时,若点都在坐标轴的正半轴上,求椭圆的方程;
(2)若以为直径的圆经过坐标原点,探究是否满足,并说明理由.
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【题目】某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
0 | |||||
0 | 5 | 0 |
(1)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数的解析式;
(2)将图象上所有点向左平行移动个单位长度,并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到的图象.若图象的一个对称中心为,求的最小值;
(3)在(2)条件下,求在上的增区间.
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【题目】中国古代十进制的算筹计数法,在世界数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同样长短的小木棍,如图,算筹表示数1~9的方法的一种.
例如:163可表示为“”27可表示为“”问现有8根算筹可以表示三位数的个数(算筹不能剩余)为( )
A. 48 B. 60 C. 96 D. 120
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