分析 由三角函数公式化简可得f(x)=2sin(2x+$\frac{π}{6}$)
(1)由周期公式可得周期,由2x+$\frac{π}{6}$=kπ可得对称中心;
(2)由f(α)=1,可得sin(2α+$\frac{π}{6}$)=$\frac{1}{2}$,结合α∈[0,π)可得α的值;
(3)由题意和同角三角函数关系和二倍角公式可得sin(2x+$\frac{π}{3}$)=和cos(2x+$\frac{π}{3}$)的值,代入f(x)=$\sqrt{3}$sin(2x+$\frac{π}{3}$)-cos(2x+$\frac{π}{3}$)化简可得.
解答 解:化简可得f(x)=$\sqrt{3}$cos(2x-$\frac{π}{2}$)+8sin2($\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$)cos2($\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$)-1
=$\sqrt{3}$sin2x+8•$\frac{1-cos(\frac{π}{2}+x)}{2}$•$\frac{1+cos(\frac{π}{2}+x)}{2}$-1
=$\sqrt{3}$sin2x+2(1+sinx)(1-sinx)-1
=$\sqrt{3}$sin2x+2cos2x-1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin(2x+$\frac{π}{6}$);
(1)∴f(x)的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π,
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ可得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$,k∈Z.
∴对称中心为($\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$,0),k∈Z.
(2)由f(α)=1,可得2sin(2α+$\frac{π}{6}$)=1,
∴sin(2α+$\frac{π}{6}$)=$\frac{1}{2}$,∵α∈[0,π),
∴2α+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{13π}{6}$),
∴2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$,∴α=0或α=$\frac{π}{3}$;
(3)∵cos(x+$\frac{π}{6}$)=$\frac{4}{5}$,x∈(0,$\frac{π}{2}$),
∴sin(x+$\frac{π}{6}$)=$\sqrt{1-co{s}^{2}(x+\frac{π}{6})}$=$\frac{3}{5}$
∴cos(2x+$\frac{π}{3}$)=2cos2(x+$\frac{π}{6}$)-1=$\frac{7}{25}$,
sin(2x+$\frac{π}{3}$)=2sin(x+$\frac{π}{6}$)cos(x+$\frac{π}{6}$)=$\frac{24}{25}$,
∴f(x)=2sin(2x+$\frac{π}{6}$)=2sin[(2x+$\frac{π}{3}$)-$\frac{π}{6}$]
=$\sqrt{3}$sin(2x+$\frac{π}{3}$)-cos(2x+$\frac{π}{3}$)
=$\sqrt{3}×\frac{24}{25}-\frac{7}{25}$=$\frac{24\sqrt{3}-7}{25}$.
点评 本题考查三角函数恒等变换,涉及三角函数的周期性和对称性以及同角三角函数的基本关系,属中档题.
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A. | 484 | B. | 472 | C. | 252 | D. | 232 |
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A. | 2$\sqrt{2}$ | B. | $\sqrt{2}$ | C. | 2 | D. | 1 |
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A. | $\frac{11}{16}$ | B. | $\frac{7}{8}$ | C. | -$\frac{1}{4}$ | D. | 不确定 |
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A. | 1111110 | B. | 1111111 | C. | 1111112 | D. | 1111113 |
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