Question

对一个边长互不相等的凸n（n≥3）边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．所有不同的染色方法记为P（n）
（1）求P（3），P（4），P（5）；
（2）求P（n）

Answer 1

解 （1）对于边a₁，有3种不同的染法，由于边a₂的颜色与边a₁的颜色不同，
所以，对边a₂有2种不同的染法，第三边有一种方法，所以P（3）=6，
类似四边形时对于边a₁，有3种不同的染法，由于边a₂的颜色与边a₁的颜色不同，
对边a₂有2种不同的染法，第三边有2种方法，如果与a₁的颜色不同，则第四边为1种染色方法，
如果与a₁的颜色相同，第四边有2种染色方法，P（4）=3×2×1×1+3×2×1×2=18，
类似可求P（5）=30； …（3分）
（2）设不同的染色法有P_n种．易知．
当n≥4时，首先，对于边a₁，有3种不同的染法，由于边a₂的颜色与边a₁的颜色不同，
所以，对边a₂有2种不同的染法，
类似地，对边a₃，…，边a_n-1均有2种染法．对于边a_n，用与边a_n-1不同的2种颜色染色，
但是，这样也包括了它与边a₁颜色相同的情况，
而边a₁与边a_n颜色相同的不同染色方法数就是凸n-1边形的不同染色方法数的种数P_n-1，
于是可得P_n=3×2^n-1-P_n-1，
P_n-2ⁿ=（P_n-1-2^n-1）．
于是P_n-2ⁿ=（-1）^n-3（P₃-2³）=（-1）^n-1•（-2），
P_n=2ⁿ+（-1）ⁿ•2，n≥3．
综上所述，不同的染色方法数为P_n=2ⁿ+（-1）ⁿ•2，．…（10分）
分析：（1）直接利用着色方案分别求出P（3），P（4），P（5）；
（2）直接利用类比推理，推出凸n（n≥3）边形的边染色与凸n-1边形的不同染色方法数的种数P_n-1的关系，P_n=3×2^n-1-P_n-1，然后求出染色方法数为P_n=2ⁿ+（-1）ⁿ•2，
点评：本题考查分步计数原理、分类计数原理的综合应用，涉及几何图形有关的涂色问题，分析时注意结合图形分析．