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已知a为实数,f(x)=x3-ax2-4x+4a,
(1)求f′(x);
(2)若f′(-1)=0,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值.
分析:(1)直接利用导数的运算即可求出f′(x);
(2)先由f′(-1)=0得a=
1
2
,代入原函数并求出其导函数,利用导函数和函数单调性的关系可得函数在[-2,2]上的单调性,进而求得在[-2,2]上的最大值和最小值.
解答:解:(1)因为f(x)=x3-ax2-4x+4a,
∴f'(x)=[x3-ax2-4x+4a]’
=3x2-2ax-4
(2)由f′(-1)=0得a=
1
2

所以f(x)=x3-
1
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x2-4x+2,f′(x)=3x2-x-4=(x+1)(3x-4)

f′(x)=0得x1=-1,x2=
4
3

由f'(x)=(x+1)(3x-4)>0得x<-1或x>
4
3

由f'(x)=(x+1)(3x-4)<0得-1<x<
4
3

所以,函数f(x)在[-2,-1]上递增,在[-1,
4
3
]
上递减,在[
4
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,2]
上递增.
综上,f(x)在[-2,2]上的最大值为f(-1)=
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2
,最小值为f(
4
3
)=-
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点评:本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及导数的运算,是对基础知识的综合考查,属于中档题.
练习册系列答案
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(3)若f(x)在[-1,1]上是递减的,求a的取值范围.

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(Ⅱ)若f(x)在(-∞,-2)和[2,+∞)上都是递增的,求a的取值范围.

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(Ⅰ)若f′(-1)=0,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上均单调递增,求a的取值范围.

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(1)求导数f′(x);
(2)若f'(-1)=0,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值.

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