已知a为实数,f(x)=x3-ax2-4x+4a,
(1)求f′(x);
(2)若f′(-1)=0,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值.
分析:(1)直接利用导数的运算即可求出f′(x);
(2)先由
f′(-1)=0得a=,代入原函数并求出其导函数,利用导函数和函数单调性的关系可得函数在[-2,2]上的单调性,进而求得在[-2,2]上的最大值和最小值.
解答:解:(1)因为f(x)=x
3-ax
2-4x+4a,
∴f'(x)=[x
3-ax
2-4x+4a]’
=3x
2-2ax-4
(2)由
f′(-1)=0得a=.
所以
f(x)=x3-x2-4x+2,f′(x)=3x2-x-4=(x+1)(3x-4)令
f′(x)=0得x1=-1,x2=由f'(x)=(x+1)(3x-4)>0得
x<-1或x>;
由f'(x)=(x+1)(3x-4)<0得
-1<x<.
所以,函数f(x)在[-2,-1]上递增,在
[-1,]上递减,在
[,2]上递增.
综上,f(x)在[-2,2]上的最大值为
f(-1)=,最小值为
f()=-.
点评:本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及导数的运算,是对基础知识的综合考查,属于中档题.