Question

若曲线y=x⁴的一条切线l与直线x+4y-2011=0垂直，则直线l的方程为（　　）

A．4x-y-3=0

B．x-4y+3=0

C．x-4y-2011=0

D．x-4y+2011=0

Answer 1

分析：直线x+4y-2011=0的斜率是k=-

1

4

，由曲线y=x⁴的一条切线l与直线x+4y-2011=0垂直，知切线l的斜率k_l=4，由y=x⁴，知y′=4x³，设切线l的切点坐标为（x₀，x04），则4x03=4，解得切点坐标为（1，1），由此能求出直线l的方程．

解答：解：直线x+4y-2011=0的斜率是k=-

1

4

，
∵曲线y=x⁴的一条切线l与直线x+4y-2011=0垂直，
∴切线l的斜率k_l=4，
∵y=x⁴，∴y′=4x³，
设切线l的切点坐标为（x₀，x04），则4x03=4，
解得切点坐标为（1，1），
∴直线l的方程为y-1=4（x-1），即4x-y-3=0．
故选A．

点评：本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意导数、直线垂直的关系、点斜式方程等知识点的灵活运用．