Question

球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2

3

的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S-ABC的体积的最大值为（　　）

• A、3
• B、3

  5

• C、

  5

• D、

  3 5

  2

Answer 1

分析：由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S-ABC的体积最大．

解答：解：由题意画出几何体的图形如图
由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，
当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S-ABC的体积最大．
∵△ABC是边长为2

3

的正三角形，
∴球的半径r=OC=

2

3

CH=

2

3

×

3

2

×2

3

=2，
在RT△SHO中，OH=

1

2

OC=

1

2

OS=1，
∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=

3

，
∴体积V=

1

3

Sh=

1

3

×

1

2

×2

3

×2

3

×

3

2

×

3

=3．
故选A．

点评：本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．