Question

（2011•花都区模拟）若直线l：ax+by+1=0始终平分圆M：x²+y²+4x+2y+1=0的周长，则（a-2）²+（b-2）²的最小值为

5

．

Answer 1

分析：把圆的方程化为标准方程，找出圆心M的坐标和半径r，根据直线l始终平分圆M的周长，得到直线l过圆心M，故把M的坐标代入直线l，得到关于a与b的方程，所求的式子可看做（a，b）到（2，2）距离的平方，又点（2，2）到直线2a+b-1=0的距离最小值为点（2，2）到直线2a+b-1=0的距离，故用点到直线的距离公式求出（2，2）到直线2a+b-1=0的距离，平方后即可得到所求式子的最小值．

解答：解：把圆的方程化为标准方程得：（x+2）²+（y+1）²=4，
∴圆心M坐标为（-2，-1），半径r=2，
∵直线l始终平分圆M的周长，
∴直线l过圆M的圆心M，
把M（-2，-1）代入直线l：ax+by+1=0得：
-2a-b+1=0，即2a+b-1=0，
∵（2，2）到直线2a+b-1=0的距离d=

|4+2-1|

5

=

5

，
∴（a-2）²+（b-2）²的最小值为5．
故答案为：5

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，其中根据题意得出直线l过圆心M是解本题的关键．