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如图,在四棱锥S-ABCD中,SA⊥底面ABCD,∠BAD=∠ABC=90°,BC=3SA=3AB=3AD.
(1)求CD和SB所成角大小;
(2)已知点G在BC边上,①若G点与B点重合,求二面角S-DB-A的大小;
②若BG:GC=2:1,求二面角S-DG-A的大小.
分析:(1)设SA=AB=AD=1,则BC=3.以A为原点,AB、AD、AS分别为x轴,y轴、z轴建立空间直角坐标,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),S(0,0,1),C(1,3,0).由向量法能求出CD和SB所成角的大小.
(2)设SA=AB=AD=1,则BC=3.①若G点与B点重合,△ABD是等腰直角三角形,取BD的中点E1,连接SE1,那么AE1=
1
2
,由此能求出二面角S-DB-A的大小.②若BG:GC=2:1,则∠BGD=45°,作AE2⊥DG,连接SE2,则△ADE2是以E2为直角顶点的等腰直角三角形,AE2=
1
2
,由此能求出二面角S-DG-A的大小.
解答:解:(1)设SA=AB=AD=1,则BC=3.
以A为原点,AB、AD、AS分别为x轴,y轴、z轴建立空间直角坐标,
则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),S(0,0,1),C(1,3,0).
SB
=(1,0,-1)
DC
=(1,2,0)

cos?
SB
DC
=
1
5
2
=
10
10

∴CD和SB所成角的大小为arccos
10
10

(2)设SA=AB=AD=1,则BC=3.
①若G点与B点重合,△ABD是等腰直角三角形,
取BD的中点E1,连接SE1,那么AE1=
1
2

∵AB=AD,BD的中点是E1
∴AE1⊥BD,
∵SA⊥底面ABCD,
∴SE1⊥BD,
∴∠SE1A是二面角S-DB-A的平面角.
在Rt△SAE1中,tan∠SE1A=
2

所以二面角S-DB-A的大小为arctan
2

②若BG:GC=2:1,则∠BGD=45°,
作AE2⊥DG,连接SE2
∵SA⊥底面ABCD,
∴SE2⊥DG,
∴∠SE2A是二面角S-DG-A的平面角.
∵△ADE2是以E2为直角顶点的等腰直角三角形,
∴AE2=
1
2

在Rt△SAE2中,tan∠SE2A=
2

所以二面角S-DG-A的大小为arctan
2
点评:本题考查异面直线所成角的大小的求法和计算二面角的大小,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
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1
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2
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