Question

已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）在抛物线C上是否存在点P，使得过点P的直线交C于另一点Q，满足PF⊥QF，且PQ与C在点P处的切线垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设抛物线C的方程是x²=ay，根据焦点为F的坐标求得a，进而可得抛物线的方程．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），进而可得抛物线C在点P处的切线方程和直线PQ的方程，代入抛物线方程根据韦达定理，可求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，根据

FP

×

FQ

求得y₁=4及点P的坐标．

解答：解：（Ⅰ）设抛物线C的方程是x²=ay，
则

a

4

=1，
即a=4．
故所求抛物线C的方程为x²=4y．
（Ⅱ）解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则抛物线C在点P处的切线方程是y=

x1

2

x-y1，
直线PQ的方程是y=-

2

x1

x+2+y1．
将上式代入抛物线C的方程，得x2+

8

x1

x-4(2+y1)=0，
故x₁+x₂=-

8

x1

，x₁x₂=-8-4y₁，
所以x₂=-

8

x1

-x₁，y₂=

4

y1

+y₁+4．
而

FP

=（x₁，y₁-1），

FQ

=（x₂，y₂-1），

FP

×

FQ

=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）
=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1
=-4（2+y₁）+y₁（

4

y1

+y₁+4）-（

4

y1

+2y₁+4）+1
=y₁²-2y₁-

4

y1

-7
=（y₁²+2y₁+1）-4（

1

y1

+y₁+2）
=（y₁+1）²-

4(y1+1)2

y1

=

(y1-4)(y1+1)2

y1

=0，
故y₁=4，此时，点P的坐标是（±4，4）．
经检验，符合题意．
所以，满足条件的点P存在，其坐标为P（±4，4）．

点评：本题主要考查抛物线的标准方程以及抛物线与直线的关系．