Question

如果△ABC外接圆半径为R，且2R(sin2A-sin2C)=(

2

a-b)sinB，
（1）求角C的值
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）先根据正弦定理把2R（sin²A-sin²C）=（

2

a-b）sinB中的角转换成边可得a，b和c的关系式，再代入余弦定理求得cosC的值，进而可得C．
（2）根据三角形的面积公式求得三角形面积的表达式，利用两角和公式化简整理后，根据角A的范围求得面积的最大值

解答：解：（1）由2R（sin²A-sin²C）=（

2

a-b）sinB，
根据正弦定理得a²-c²=（

2

a-b）b=

2

ab-b²，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

2

2

，
∴角C的大小为45°，
（2）∵S=

1

2

absinC=

1

2

×

2

2

ab
=

2

R²sinAsinB=

2

R²sinAsin（135°-A）
=

2

R²sinA（sin135°cosA-cos135°sinA）
=R²（sinAcosA+sin²A）
=R²•

1+sin2A-cos2A

2

=R²•

1+ 2 sin(2A- π 4 )

2

∴当2A=135°，即A=67.5°时，Smax=

2 +1

2

R2

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解三角形问题过程中常需要利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的互化．