Question

已知函数y=f（x）（x∈D），方程f（x）=x的根x₀称为函数f（x）的不动点；若a₁∈D，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），则称{a_n} 为由函数f（x）导出的数列．
设函数g（x）=

4x+2

x+3

，h（x）=

ax+b

cx+d

(c≠0，ad-bc≠0，(d-a)2+4bc＞0)
（1）求函数g（x）的不动点x₁，x₂；
（2）设a₁=3，{a_n} 是由函数g（x）导出的数列，对（1）中的两个不动点x₁，x₂（不妨设x₁＜x₂），数列求证{

an-x1

an-x2

}是等比数列，并求

lim

n→∞

an；
（3）试探究由函数h（x）导出的数列{b_n}，（其中b₁=p）为周期数列的充要条件．
注：已知数列{b_n}，若存在正整数T，对一切n∈N^*都有b_n+T=b_n，则称数列{b_n} 为周期数列，T是它的一个周期．

Answer 1

分析：（1）直接解方程

4x+2

x+3

=x，求出对应的自变量的值即可；
（2）直接把上面的结论代入并设cn=

an+1

an-2

，求出c_n+1的表达式即可证明求证{

an-x1

an-x2

}是等比数列；进而求出{a_n} 的通项公式，即可求

lim

n→∞

an；
（3）先利用h（x）=

ax+b

cx+d

=x，得方程有两个不相等的实数根x₁，x₂；再求出{

bn-x1

bn-x2

}是等比数列，首项为

p-x1

p-x2

，公比为

cx2+d

cx1+d

；即可找到由函数h（x）导出的数列{b_n}（其中b₁=p）为周期数列的充要条件．

解答：解：（1）

4x+2

x+3

=x，即x²-x-2=0，得x₁=-1，x₂=2，
所以函数g（x）的不动点为x₁=-1，x₂=2．
（2）：a₁=3，a_n+1=g（a_n）=

4an+2

an+3

，设c_n=

an+1

an-2

，
则c_n+1=

an+1+1

an+1-2

=

5an+5

2an-4

=

5

2

an+1

an-2

=

5

2

c_n，c₁=

a1+1

a1-2

=4．
所以数列{

an+1

an-2

}是等比数列，公比为

5

2

，首项为4．

an+1

an-2

=4•(

5

2

)n-1得a_n=

8•5n-1+2n-1

4•5n-1-2n-1

．

lim

n→∞

an=

lim

n→∞

8•5n-1+2n-1

4•5n-1-2n-1

=

lim

n→∞

8+( 2 5 )n-1

4-( 2 5 )n-1

=2．
（3）：h（x）=

ax+b

cx+d

=x，即cx²+（d-a）x-b=0．
因为△=（d-a）²+4ac＞0，所以该方程有两个不相等的实数根x₁，x₂．
b₁=p，b_n+1=h（b_n）=

abn+b

cbn+d

，

bn+1-x1

bn+1-x2

=

abn+b cbn+d - ax1+b cx1+d

abn+b cbn+d - ax2+b cx2+d

=

cx2+d

cx1+d

•

bn-x1

bn-x2

，
则{

bn-x1

bn-x2

}是等比数列，首项为

p-x1

p-x2

，公比为

cx2+d

cx1+d

．
因为

bn-x1

bn-x2

=

p-x1

p-x2

（

cx2+d

cx1+d

）^n-1，所以

bn+T-x1

bn+T-x2

=

p-x1

p-x2

（

cx2+d

cx1+d

）^n+T-1．
数列{b_n}为周期数列的充要条件是（

cx2+d

cx1+d

）^n-1=（

cx2+d

cx1+d

）^n+T-1，即（

cx2+d

cx1+d

）^T=1．
故|

cx2+d

cx1+d

|=1，但x₁≠x₂，从而cx₂+d=-cx₁-d．x₁+x₂=-

2d

c

=-

d-a

c

，
故d=-a．

点评：本题主要考查数列知识和函数知识，属于难题．基础较弱的学生建议只做第一，第二问．