Question

【题目】设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．
（1）求不等式f（x）＞1解集；
（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|表示数轴上的x对应点到﹣2对应点的距离减去它到1对应点的距离，

而0对应点到﹣2对应点的距离减去它到1对应点的距离正好等于1，

故不等式f（x）＞1解集为{x|x＞0}

（2）解：若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，

即|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解，故|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣m|．

利用绝对值的意义可得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值为3+4=7，

∴|1﹣m|≤7，故﹣7≤m﹣1≤7，求得﹣6≤m≤8，

m的范围为[﹣6，8]

【解析】（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）＞1解集．（2）根据题意可得|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解，即|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣m|，再利用绝对值的意义求得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值，从而求得m的范围．
【考点精析】关于本题考查的绝对值不等式的解法，需要了解含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能得出正确答案．