Question

【理科生做】已知圆E：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）证明不论m取什么实数，直线与圆恒交于两点；
（2）已知AC、BD为圆C的两条相互垂直的弦，垂足为M（3，1），求四边形ABCD的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）把直线l的方程变形后，根据直线l恒过定点，得到关于x与y的二元一次方程组，求出方程组的解即为直线l恒过的定点坐标，然后利用两点间的距离公式求出此点到圆心的距离d，发现d小于圆的半径，得到此点在圆内，故直线l与圆恒交于两点；
（2）设圆心到AC、BD的距离分别为d₁、d₂，则 d₁²+d₂²=8，代入面积公式S=

1

2

×AC×BD，使用基本不等式求出四边形ABCD的面积的最大值．

解答：解：（1）由m（2x+y-7）+（x+y-4）=0知直线l恒过定点，
又

2x+y=7  x+y=4

，
解得

x=3 y=1

∴直线l恒过定点A（3，1），
且（3-1）²+（1-2）²=5＜25⇒A（3，1）必在圆内，
故直线l与圆恒有两交点．
（2）设圆心O到AC、BD的距离分别为d₁，d₂．
则d₁²+d₂²═OM²=（

(3-1)2+(1-2)2

）²=（

5

）²=5．
四边形ABCD的面积为：
S=

1

2

×|AC|×|BD|=

1

2

×2

25 -d 2 1

×2

25 -d 2 2

=2

25 -d 2 1

•

25 -d 2 2

≤50-（d₁²+d₂²）=45．
当且仅当d₁²=d₂²时取等号，
四边形ABCD的面积的最大值为：45．

点评：此题直线与圆相交的性质，恒过定点的直线方程以及点与圆的位置关系．第一问的关键是求出直线l恒过的A点坐标，判定A在圆内；第二问考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．