Question

如图，已知边长为2的正五边形ABCDE内接于⊙O，AB、DC的延长线交于点F，过点E作EG∥CB交BA的延长线于点G.

（1）求证：AB²=AG·BF；

（2）证明EG与⊙O相切，并求AG、BF的长.

Answer 1

思路解析：由正五边形的特征，易得到△EAG∽△FBC；连结EF，易证EF⊥EG，再用切割线定理完成计算.

证明：（1）易证五边形ABCDE的外角∠FCB＝∠EAG＝∠FBC，

∵EG∥CB，∴∠G＝∠FBC.

∴△EAG∽△FBC.

∴，即BC·AE=AG·BF.

又∵BC＝AE＝AB，

∴AB²＝AG·BF.              ①

（2）连结EF，由（1）可知FB＝FC，即△FBC为等腰三角形，易知BA＝CD，

∴FA＝FD.

∴EF⊥BC且EF平分BC.

∴EF过圆心O.

又∵EG∥CB，∴EF⊥EG.

∴EG与⊙O相切.

∴EG²＝AG·BG.

由（1）可知∠G＝∠EAG，

∴EG＝EA＝2.

设AG＝x，则2²＝x(x+2).解得x＝-1.

∴AG＝-1.代入①中可得BF＝+1.