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已知函数f(x)ax2|x|2a1(a为实常数)

(1)a1作函数f(x)的图象;

(2)f(x)在区间[12]上的最小值为g(a)g(a)的表达式;

(3)h(x)若函数h(x)在区间[12]上是增函数求实数a的取值范围.

 

1

2g(a)3

【解析】(1)a1f(x)x2|x|1作图如下.

(2)x∈[12]f(x)ax2x2a1.

a0f(x)=-x1在区间[12]上是减函数g(a)f(2)=-3.

a≠0f(x)a2a1f(x)图象的对称轴是直线x.

a<0f(x)在区间[12]上是减函数g(a)f(2)6a3.

0<<1a>f(x)在区间[12]上是增函数g(a)f(1)3a2.

1≤2ag(a)f2a1.

>20<a<f(x)在区间[12]上是减函数g(a)f(2)6a3.

综上可得g(a)

(3)x∈[12]h(x)ax1在区间[12]上任取x1x2x1<x2

h(x2)h(x1)

(x2x1)(x2x1).

因为h(x)在区间[12]上是增函数所以h(x2)h(x1)>0.

因为x2x1>0x1x2>0所以ax1x2(2a1)>0

ax1x2>2a1.

a0上面的不等式变为0>1a0时结论成立.

a>0x1x2>1<x1x2<41解得0a≤1.

a<0x1x2<1<x1x2<44解得-a0.

所以实数a的取值范围为

 

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