Question

2．设集合A={x|x²+2x-3＞0}，集合B={x|x²-2ax-1≤0，a＞0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是[$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$）．

Answer 1

分析 求出A中不等式的解集确定出A，由A与B交集中恰有一个整数，求出a的范围即可．

解答 ，解：由A中不等式变形得：（x-1）（x+3）＞0，
解得：x＜-3或x＞1，即A={x|x＜-3或x＞1}，
函数y=f（x）=x²-2ax-1的对称轴为x=a＞0，f（-3）=6a+8＜0，
由对称性可得，要使A∩B恰有一个整数，
即这个整数解为2，
∴f（2）≤0且f（3）＞0，
即$\left\{\begin{array}{l}{4-4a-1≤0}\\{9-6a-1＞0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{3}{4}}\\{a＜\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，即$\frac{3}{4}$≤a＜$\frac{4}{3}$，
则a的取值范围为[$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$）．
故答案为：[$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$）

点评 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．