Question

【题目】为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图4）．考察范围到A、B两点的距离之和不超过10km的区域．

（I）求考察区域边界曲线的方程：

（II）如图4所示，设线段是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍．问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？

Answer 1

【答案】（I）；（II）5年

【解析】

解：（I）设边界曲线上点的坐标为，则由知，

点在以为焦点，长轴长为的椭圆上，此时短半轴长为，

所以考察区域边界曲线(如图)的方程为为.

（II）易知过点的直线方程为，因此点到直线的距离为

设经过年，点恰好在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式可得

，

解得，即经过5年，点恰好在冰川边界线上.