Question

11．（1）已知矩阵$M=[{\begin{array}{l}2&a\\ b&1\end{array}}]$，其中a，b均为实数，若点A（3，-1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．
（2）在极坐标系中，设直线$θ=\frac{π}{3}$与曲线ρ²-10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$[\begin{array}{l}{2}&{a}\\{b}&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{3}\\{-1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{3}\\{5}\end{array}]$，化为$\left\{\begin{array}{l}{6-a=3}\\{b-1=5}\end{array}\right.$，即可解得a，b．设矩阵M的特征值为λ，利用f（λ）=$|\begin{array}{l}{2-λ}&{3}\\{6}&{1-λ}\end{array}|$=0，解出即可．
（2）直线$θ=\frac{π}{3}$化为直角坐标方程：$y=\sqrt{3}x$，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$即可把曲线ρ²-10ρcosθ+4=0化为直角坐标方程，把直线y=$\sqrt{3}$x代入上述方程可得：2x²-5x+2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB中点的M（x₀，y₀）．利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$[\begin{array}{l}{2}&{a}\\{b}&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{3}\\{-1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{3}\\{5}\end{array}]$，∴$\left\{\begin{array}{l}{6-a=3}\\{b-1=5}\end{array}\right.$，解得a=3，b=6．
∴M=$[\begin{array}{l}{2}&{3}\\{6}&{1}\end{array}]$，
设矩阵M的特征值为λ，
则f（λ）=$|\begin{array}{l}{2-λ}&{3}\\{6}&{1-λ}\end{array}|$=0，化为（2-λ）（1-λ）-18=0，
化为λ²-3λ-16=0，
解得λ=$\frac{3±\sqrt{73}}{2}$．
（2）直线$θ=\frac{π}{3}$化为直角坐标方程：$y=\sqrt{3}x$，
曲线ρ²-10ρcosθ+4=0化为直角坐标方程：x²+y²-10x+4=0，
把直线y=$\sqrt{3}$x代入上述方程可得：2x²-5x+2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB中点的M（x₀，y₀）．
∴x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{5}{4}$，y₀=$\sqrt{3}{x}_{0}$=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．
∴线段AB中点的直角坐标$（\frac{5}{4}，\frac{5\sqrt{3}}{4}）$，
∴$ρ=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，tanθ=$\sqrt{3}$，可得θ=$\frac{π}{3}$，
因此极坐标为$（\frac{5}{2}，\frac{π}{3}）$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、一元二次的根与系数的关系、中点坐标公式、矩阵的特征值及其变换，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．