【题目】已知函数.
(1)求函数的最小值;
(2)若恒成立,求实数的值;
(3)设有两个极值点,求实数的取值范围,并证明.
【答案】(1)0;(2)1;(2),证明见解析.
【解析】
(1)先求的定义域,然后对求导,令寻找极值点,从而求出极值与最值;
(2)构造函数,又,则只需恒成立,再证在处取到最小值即可;(3)
有两个极值点等价于方程在上有两个不等的正根,由此可得的取值范围,,由根与系数可知及范围为,代入上式得,利用导函数求的最小值即可.
(1),
,
令G′(x)>0,解得x>1,此时函数G(x)单调递增,
令G′(x)<0,解得0<x<1,此时函数G(x)单调递减,
又G′(1)=0,∴x=1是函数G(x)的极小值点,也是最小值,且G(1)=0.
当时,的最小值为0.
(2)令,则.
所以即恒成立的必要条件是,
又,由得:.
当时,,知,
故,即恒成立.
(3)由,得.
有两个极值点、等价于方程在上有两个不等的正根,即:
,解得.
由,得,其中.
所以.
设,得,
所以,即.
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【题目】一个多面体的直观图和三视图如图所示,点M是AB上的动点,记四面体EFMC的体积为V1,多面体ADF-BCE的体积为V2,则=
A.B.C.D.不是定值,随点M位置的变化而变化
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【题目】2019年是新中国成立七十周年,新中国成立以来,我国文化事业得到了充分发展,尤其是党的十八大以来,文化事业发展更加迅速,下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数(个)与对应年份编号的散点图(为便于计算,将 2013 年编号为 1,2014 年编号为 2,…,2018年编号为 6,把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量,把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析),得到回归直线,其相关指数,给出下列结论,其中正确的个数是( )
①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强
②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个
③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个
A.0B.1C.2D.3
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【题目】已知,,若点A为函数上的任意一点,点B为函数上的任意一点.
(1)求A,B两点之间距离的最小值;
(2)若A,B为函数与函数公切线的两个切点,求证:这样的点B有且仅有两个,且满足条件的两个点B的横坐标互为倒数.
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【题目】随着资本市场的强势进入,互联网共享单车“忽如一夜春风来”,遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在市的使用情况,某调查机构借助网络进行了问卷调查,并从参与调查的网友中随机抽取了200人进行抽样分析,得到下表(单位:人):
经常使用 | 偶尔或不用 | 合计 | |
30岁及以下 | 70 | 30 | 100 |
30岁以上 | 60 | 40 | 100 |
合计 | 130 | 70 | 200 |
(1)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关?
(2)现从所有抽取的30岁以上的网民中利用分层抽样抽取5人,
求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数;
从这5人中,在随机选出2人赠送一件礼品,求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.
参考公式: ,其中.
() | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】如图,地图上有一竖直放置的圆形标志物,圆心为C,与地面的接触点为G.与圆形标志物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点,且PG=50m.在观测点正前方10m处(即PD=10m)有一个高位10m(即ED=10m)的广告牌遮住了视线,因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A到F的圆弧.
(1)若圆形标志物半径为25m,以PG所在直线为X轴,G为坐标原点,建立直角坐标系,求圆C和直线PF的方程;
(2)若在点P处观测该圆形标志的最大视角(即)的正切值为,求该圆形标志物的半径.
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【题目】设椭圆,其长轴长是短轴长的倍,过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)点是椭圆上横坐标大于的动点,点在轴上,圆内切于,试判断点在何位置时的长度最小,并证明你的判断.
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【题目】现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字.
(1)可以组成多少个无重复数字的三位数?
(2)组成无重复数字的三位数中,315是从小到大排列的第几个数?
(3)可以组成多少个无重复数字的四位偶数?
(4)选出一个偶数和三个奇数,组成无重复数字的四位数,这样的四位数共有多少个?
(5)如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列,则称此正整数为“渐减数”, 那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个?
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