Question

已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线l：y=-2的距离小1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线EA，EB，切点为A、B．
（ⅰ）求证：直线AB恒过一定点，并求出该定点的坐标；
（ⅱ）在直线l上是否存在一点E，使得△ABM为等边三角形（M点也在直线l上）？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题设知曲线C的方程x²=4y．
（Ⅱ）（ⅰ）设E（a，-2），，由题设知x₁²-2ax₁-8=0．同理可得：x₂²-2ax₂-8=0所以x₁+x₂=2a，x₁•x₂=-8，可得AB中点为，由此可知直线AB恒过一定点，并能求出该定点的坐标．
（ⅱ）由（ⅰ）知AB中点，直线AB的方程为，当a≠0时，AB的中垂线与直线y=-2的交点．若△ABM为等边三角形，则，∴，解得a=±2，此时E（±2，-2），故满足条件的点E存在，坐标为E（±2，-2）．
解答：解：（Ⅰ）曲线C的方程x²=4y（5分）
（Ⅱ）（ⅰ）设E（a，-2），，
∵过点A的抛物线切线方程为，
∵切线过E点，∴，整理得：x₁²-2ax₁-8=0
同理可得：x₂²-2ax₂-8=0，∴x₁，x₂是方程x²-2ax-8=0的两根，∴x₁+x₂=2a，x₁•x₂=-8可得AB中点为
又，
∴直线AB的方程为即，∴AB过定点（0，2）（10分）

（ⅱ）由（ⅰ）知AB中点，直线AB的方程为
当a≠0时，则AB的中垂线方程为，
∴AB的中垂线与直线y=-2的交点∴
∵
若△ABM为等边三角形，则，
∴，
解得a²=4，∴a=±2，此时E（±2，-2），
当a=0时，经检验不存在满足条件的点E
综上可得：满足条件的点E存在，坐标为E（±2，-2）．（15分）
点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合问题，解题时要注意公式的灵活运用，注意计算能力的培养．