Question

如图，四边形ABCD为正方形，在四边形ADPQ中，PD∥QA．又QA⊥平面ABCD，QA=AB=

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PD．
（1）证明：PQ⊥平面DCQ；
（2）CP上是否存在一点R，使QR∥平面ABCD，若存在，请求出R的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）要证明线面垂直PQ⊥平面DCQ，根据其判定定理，需要证明PQ垂直于平面DCQ内的两条相交直线，由已知可证明CD⊥PQ，只要再证明PQ⊥DQ即可．
（2）只要分别取PC、CD的中点，再利用三角形的中位线和平行四边形的判定与性质即可得到结论．

解答：解：（1）法一：∵QA⊥平面ABCD，∴QA⊥CD，
由四边形ABCD为正方形知DC⊥AD，
又QA、AD为平面PDAQ内两条相交直线，∴CD⊥平面PDAQ，∴CD⊥PQ．
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=

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PD，∴PQ²+DQ²=PD²．
由勾股定理得逆定理得：PQ⊥QD．
又CD、QD为平面ADCB内两条相交直线，∴PQ⊥平面DCQ．
法二：∵QA⊥平面ABCD，QA?平面PDAQ，∴平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD．
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，∴DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC．
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=

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PD，则PQ⊥QD．
又CD、QD为平面ADCB内两条相交直线，
∴PQ⊥平面DCQ．
（2）存在CP中点R，使QR∥平面ABCD．
证：取CD中点T，连接QR，RT，AT，由三角形的中位线定理得：RT∥DP，且RT=

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DP，
又AQ∥DP，且AQ=

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DP，从而AQ∥RT，且AQ=RT，
∴四边形AQRT为平行四边形，所以AT∥QR．
∵QR?平面ABCD，AT?平面ABCD，
∴QR∥平面ABCD．
即存在CP中点R，使QR∥平面ABCD

点评：掌握线面、面面平行和垂直的判定与性质定理是解题的关键．