Question

（1）已知f（x）为一次函数，f[f（x）]=2x-1，求f（x）的解析式．
（2）函数y=f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，当x＞0时f（x）=x²-2x-3，求函数y=f（x）的解析式．
（3）已知a，b为常数，若f（x）=x²+4x+3，f（ax+b）=x²+10x+24，求5a-b的值．

Answer 1

（1）设f（x）=ax+b，则f（f（x））=a（ax+b）+b=a²x+ab+b
∵f[f（x）]=2x-1，∴a²x+ab+b=2x-1
∴a²=2且ab+b=-1，解得a=

2

，b=1-

2

或a=-

2

，b=1+

2

∴f(x)=

2

x+1-

2

或f(x)=-

2

x+1+

2

（2）∵y=f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，∴f（0）=0
下面求x＜0时函数解析式
设x＜0，则-x＞0
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）-3=x²+2x-3
∵y=f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∴x＜0时函数解析式f（x）=-x²-2x+3
∴函数y=f（x）的解析式为

x2-2x-3     (x＞0) 0              (x=0) -x2-2x+3   (x＜0)

（3）∵f（x）=x²+4x+3
∴f（ax+b）=（ax+b）²+4（ax+b）+3=a²x²+（2ab+4a）x+b²+4b+3=x²+10x+24
∴

a2=1 2ab+4a=10 b2+4b+3=24

，解得

a=1 b=3

或

a=-1 b=-7

∴5a-b=2