Question

2．已知抛物线y²=2x上有两点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），过PQ的中点M作x轴的平行线，交抛物线于R点，求证：S_△PQR=$\frac{1}{16}$|y₁-y₂|³．

Answer 1

分析 过P，Q，R三点向准线引垂线，垂足分别为A，B，C，则S_△PQR=S_ABQP-S_ACRP-S_BCRQ，结合梯形面积公式，可得结论．

解答 证明：∵抛物线y²=2x的焦点（$\frac{1}{2}$，0），准线x=-$\frac{1}{2}$，
过P，Q，R三点向准线引垂线，垂足分别为A，B，C

∵P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），即P（$\frac{1}{2}$y₁²，y₁），Q（$\frac{1}{2}$y₂²，y₂），
∴M点坐标为：（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}{+y}_{2}}{2}$），R坐标为：（$\frac{{（y}_{1}{+y}_{2}）^{2}}{8}$，$\frac{{y}_{1}{+y}_{2}}{2}$），
A点坐标为：（-$\frac{1}{2}$，y₁），B点坐标为（-$\frac{1}{2}$，y₂），C点坐标为：（-$\frac{1}{2}$，$\frac{{y}_{1}{+y}_{2}}{2}$），
S_△PQR=S_ABQP-S_ACRP-S_BCRQ
=$\frac{1}{2}$[（$\frac{1}{2}$y₁²+$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$y₂²+$\frac{1}{2}$）]•|y₁-y₂|-$\frac{1}{2}$[（$\frac{1}{2}$y₁²+$\frac{1}{2}$）+（$\frac{{（y}_{1}{+y}_{2}）^{2}}{8}$+$\frac{1}{2}$）]•$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|-$\frac{1}{2}$[（$\frac{{（y}_{1}{+y}_{2}）^{2}}{8}$+$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$y₂²+$\frac{1}{2}$）]•$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|
=$\frac{1}{16}$|y₁-y₂|³．

点评 本题考查的知识点是抛物线的简单性质，三角形面积公式与梯形面积公式，难度中档．