Question

求适合下列条件的椭圆的标准方程；
（1）焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过点P(3，-2

6

)；
（2）长轴是短轴的3倍，且经过点P（3，0）．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：椭圆的两个焦点为（-2，0），（2，0），再根据椭圆的定义可得a的值，进而根据a，b，c之间的关系求出b的值，即可求出椭圆的方程．
（2）由题意可得：a=3b，再分别讨论椭圆焦点的位置，即可分别求出a与b，进而求出椭圆的标准方程．

解答：解：（1）因为焦点在x轴上，焦距等于4，即c=2，
所以椭圆的两个焦点为（-2，0），（2，0），
由椭圆的定义可得：椭圆上一点P到两焦点距离之和等于2a，
因为椭圆经过点P(3，-2

6

)，
所以2a=

(3+2)2+(-2 6 )2

+

(3-2)2+(-2 6 )2

=12，
所以a=6，所以b=

a2-c2

=4

2

，
所以椭圆的方程为：

x2

36

+

y2

32

=1；
（2）因为长轴是短轴的3倍，
所以a=3b．
当椭圆的焦点在x轴上时，
因为椭圆经过点P（3，0），
所以a=3，即b=1，
所以此时椭圆的方程为

x2

9

+y2=1，
当椭圆的焦点在y轴上时，
因为椭圆经过点P（3，0），
所以b=3，a=9，
所以此时椭圆的方程为

y2

81

+

x2

9

=1．

点评：本题主要考查利用椭圆的定义与椭圆的简单性质求椭圆的标准方程，解决此类问题的步骤是：首先确定标准方程的形式（焦点在x轴还是再y轴上），再根据条件求出 a，b，然后写出椭圆的方程，此题属于基础题．