Question

一个四棱锥的三视图和直观图如图所示，E为侧棱PD的中点.

（1）求证：PB//平面AEC；  

（2）若F为侧棱PA上的一点，且， 则为何值时，PA平面BDF？ 并求此时几何体F—BDC的体积．

Answer 1

(2)

解析:

（1）由图形可知该四棱锥和底面ABCD是菱形，且有一角为，边长为2，

锥体高度为1。

设AC，BD和交点为O，连OE，OE为△DPB的中位线，

OE//PB，                                             3分

EO面EAC，PB面EAC内， PB//面AEC。          6分

（2）过O作OFPA垂足为F , 

在Rt△POA中，PO=1，AO=，PA=2，在Rt△POB中，PO=1，BO=1，PB=，   8分

过B作PA的垂线BF，垂足为F，连DF，由于△PAB≌△PAD，故DF⊥PA，DF∩BF=F，因此PA⊥面BDF.                                                  10分

在等腰三角形PAB中解得AF=,进而得PF=               

即当时，PA面BDF，                       12分

此时F到平面BDC的距离FH=

 

       14分